N θ (3)&(4) (3)&(5) Score LRT MLRT Wald Score LRT MLRT Wald 50 0 0.019 0.073 0.029 0.002 0.017 0.097 0.038 0.003 0.2 0.029 0.1 0.047 0.004 0.023 0.111 0.044 0.003 0.4 0.044 0.138 0.068 0.005 0.04 0.14 0.062 0.009 0.6 0.076 0.202 0.113 0.01 0.063 0.183 0.087 0.014 0.8 0.119 0.285 0.181 0.016 0.094 0.24 0.123 0.023 1 0.187 0.396 0.268 0.026 0.147 0.322 0.185 0.047 100 0 0.024 0.078 0.04 0.01 0.035 0.081 0.046 0.013 0.2 0.051 0.103 0.057 0.029 0.057 0.099 0.06 0.024 0.4 0.113 0.164 0.099 0.074 0.108 0.146 0.098 0.055 0.6 0.22 0.267 0.183 0.165 0.182 0.221 0.159 0.106 0.8 0.39 0.434 0.328 0.32 0.291 0.334 0.25 0.188 1 0.588 0.628 0.518 0.528 0.438 0.477 0.385 0.315 200 0 0.037 0.068 0.044 0.02 0.047 0.063 0.049 0.028 0.2 0.087 0.102 0.073 0.045 0.087 0.091 0.073 0.058 0.4 0.232 0.231 0.184 0.1 0.193 0.186 0.16 0.149 0.6 0.476 0.47 0.406 0.208 0.36 0.351 0.31 0.304 0.8 0.75 0.745 0.687 0.372 0.577 0.565 0.524 0.523 1 0.924 0.924 0.895 0.586 0.78 0.772 0.738 0.741 1000 0 0.051 0.053 0.051 0.044 0.053 0.055 0.051 0.047 0.2 0.293 0.277 0.272 0.161 0.209 0.2 0.196 0.205 0.4 0.871 0.865 0.862 0.571 0.692 0.682 0.675 0.689 0.6 0.999 0.999 0.999 0.927 0.973 0.97 0.968 0.973 0.8 1 1 1 0.997 0.999 0.999 0.999 0.999 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Table 1: Empirical rejection rates of tests for order of antedependence for data simulated from processes (3) and (4) and (3) and (5). Empirical sizes (rejection rates when θ=0) more than two estimated standard errors from the nominal size (0.05) are set in bold type.