alexa Aspects théoriques et numériques en optimisation de forme topologique
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Journal of Applied & Computational Mathematics

Author(s): Amstutz S

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L'optimisation de forme topologique est la recherche de la géométrie d'un objet qui soit optimale vis à vis d'un critère donné, et ce sans aucun a priori sur sa topologie, c'est-à-dire sur le nombre de ``trous'' qu'il peut contenir. Parmi les différentes stratégies qui ont été élaborées pour y parvenir, celle qui nous intéresse ici, la méthode du ``gradient topologique'', consiste à étudier le comportement du critère lors de la création d'un petit trou à l'intérieur du domaine. Plus précisément, le calcul de son développement asymptotique par rapport à la taille du trou fournit une direction de descente qui est à la base de nouveaux algorithmes d'optimisation de forme. De telles formules ``d'asymptotique topologique'' ont d'ores et déjà été établies pour divers problèmes et l'efficacité de ce nouvel outil a été prouvée, que ce soit en terme de temps de calculs ou de qualité des résultats. L'objectif de cette thèse est de compléter cette étude à la fois sur les aspects théoriques et numériques. Les principaux points abordés sont : 1)la considération de nouveaux types de perturbation du domaine que sont la création de fissures et l'introduction de petites irrégularités dans les coefficients de l'EDP. 2)le cas d'opérateurs différentiels non homogènes, puis non linéaires avec une application aux équations de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles, 3)l'adaptation à l'optimisation topologique d'algorithmes itératifs de type Krylov. Dans chaque cas, un certain nombre de formules sont démontrées grâce à l'emploi de techniques originales et sont illustrées par des tests numériques, comme par exemple l'optimisation d'un guide d'onde et d'une cuve de décantation.

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This article was published in Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse and referenced in Journal of Applied & Computational Mathematics

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